Lab Reports: [서울대 물리학실험 1-3] 시지프스의 고민

물리학 실험 1-3

1-3. 시지프스의 고민

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 표절 시 불이익을 받을 확률이 매우 높습니다. 참고만 하십시오.

참고: http://physlab.snu.ac.kr/newphyslab/lab/exp2.htm

I. Introduction

1.1. 실험 목적

① 궤도를 구르면서 떨어지는 공의 운동 에너지의 증가량과 퍼텐셜 에너지의 감소량을 비교해본다.

② 공이 원형 궤도의 최고점에 다다르지 못하고 떨어지기 시작하는 최소 시작 높이가 이론값과 차이가 있는지 본다.

③ 데이터를 통해 마찰력의 영향을 살펴본다.

1.2. 배경 지식

1.2.1 굴러가는 물체의 역학적 에너지

강체의 각속도를 고려했을 때, 강체의 역학적 에너지는 다음과 같다.

은 질량 중심의 이동 속력,

는 강체의 현재 높이,

는 관성 모멘트,

는 강체의 각속도이다.

이 실험에서의 강체는 공이 된다. 공이 완전한 구의 형태를 띠고 있다고 할 때, 그 반지름을

이라 하면,

이고,

이다. 그러므로 공의 역학적 에너지는 다음과 같다,

공이 처음에

만큼의 높이에 있었다고 한다면, 질량 중심의 이동 속력은 다음과 같다.

1.2.2 경사면에서 구간 사이의 시간

경사면의 경사각을

라고 하면, 다음과 같다.

축의 관점(지면에 평행)에서 공이 굴러가는 것을 관찰하면,

위 식을 적분하면 다음과 같은 결과가 나온다.

이 식은 역학적 에너지가 보존된다는 가정 하에 얻어진 것이다. 이 시간을 실제 실험에서 측정해 보고, 이 실험에서 역학적 에너지가 보존되었는지 여부를 확인할 수 있다.

1.2.3 회전에서 유효 반지름

공이 경사면이 아닌 경사진 궤도를 구르는 경우, 회전 운동의 유효 반지름이 그림 1처럼 달라진다.

그림 1

궤도에서 유효 반지름

여기서

는 궤도에 공이 닿는 두 지점 사이의 거리이다.

그리고 각속도는 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

1.2.4 원형 궤도를 돌기 위한 초기 높이

공이 원형 궤도의 최고점에 올라도 원형의 운동을 계속 할 수 있는 최소 속력을

이라 하자. 중력이 구심력의 역할을 하게 되므로 다음과 같다.

이것과 공의 역학적 에너지 보존을 이용하면 원형 궤도를 돌기 위해 필요한 공의 초기 높이를 구할 수 있게 된다.

1.3. 실험 안내

준비물 : CCD, 직선 궤도, 원형 궤도, 1m 자, 스탠드, 마이크로미터, 전자식 저울, 공, 컴퓨터 등

1.3.1 실험 1

직선 궤도와 원형 궤도를 연결하고 카메라를 세운다. 그 다음 직선 궤도에 공을 놓고, 공이 움직이는 모습을 I-CA 카메라를 이용해 촬영한다. (초기 높이는 미리 정함)

공이 두 지점 사이를 통과하는 모습을 데이터로 가지게 되는데, 이 두 지점을 다르게 하면서 실험을 진행하고, 각각 실험을 두 번씩 진행하도록 한다.

이 데이터를 이용해 공의 운동 에너지 증가량과 퍼텐셜 에너지 감소량을 비교해 본다.

1.3.2 실험 2

공의 초기 높이를 여러 군데로 하여 테스트해보고, 이를 통해 원형 궤도를 돌기 위해 필요한 공의 초기 높이를 실험적으로 찾아낸다.

2. Data & Result

2.1. 실험 1의 결과

첫 번째는 경사각이 약 19도인 경사면에 높이가 38cm인 지점에서 13cm인 지점으로 공을 굴리는 실험이었다. 이 실험에서의 공의 운동에너지, 중력에 의한 퍼텐셜 에너지, 그리고 역학적 에너지를 산출하기 위해서 평균 속력을 이용하였는데, 문제는 공이 그 평균 속력을 낼 때의 지점이 어디인지 알아내는 것이었다.

그림 2 공의 움직이는 좌표

초기 속도가 0이었던 공이 가속도

로 등가속도 운동을 하고 있다고 하자. 공이 시간

에서 거리

만큼 움직이고 있을 때, 그 평균 속력이 나오는 시간은

이다. 이때 우리는 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

이를 대입하면,

위에서 얻은 결과가 공이 평균 속력을 가지게 되는 지점이다. 이를 공의 퍼텐셜 에너지를 산출할 때 이용할 수 있다. 이렇게 해서 아래와 같은 결과들을 얻어낼 수 있었다.

그림 3 첫 번째 실험에서의 에너지 변화

시간이 약 0.1초보다 작을 때에는 프로그램이 색 인식을 할 때 공 대신에 공을 잡고 있던 사람의 손을 인식하는 경우가 생기어 오차가 많이 있을 것이라고 판단해 그 부분을 제외하고 그래프를 그릴 수밖에 없었다.

같은 환경에서 얻어낸 두 번째 실험 결과는 다음과 같았다.

그림 4 두 번째 실험에서의 에너지 변화

이의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다. 단, 아래의 값들은 에너지를 질량으로 나눈 값이다.

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
1 실험	+1.622863	-1.957697	-0.334834
2 실험	+1.937641	-2.140433	-0.202793
평균	+1.780252	-2.049065	-0.268814

표 1 첫 번째와 두 번째 실험의 에너지 변화

이번에는 같은 경사면에 높이가 38cm인 지점에서 높이가 25cm인 지점으로 공을 굴렸다. 그때 그 에너지의 변화는 다음과 같았다.

그림 5 세 번째 실험에서의 에너지 변화

세 번째 실험에서 컴퓨터가 색 인식을 상당히 힘들어 했던 것이 데이터 오차를 크게 일으켰다.

그림 6 네 번째 실험에서의 에너지 변화

세 번째와 네 번째 실험에서 얻어낸 데이터의 초기 시작 값이 달라서 에너지의 증감을 비교하기는 어렵다. 하지만 이를 따로 나타내면,

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
3 실험	+0.761783	-0.813684	-0.0519

표 3 세 번째 실험의 에너지 변화

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
4 실험	+0.930585	-1.072306	-0.141719

표 4 네 번째 실험의 에너지 변화

위와 같이 에너지가 변화하는 것을 알 수 있었다. 단, 위의 값들은 에너지를 질량으로 나눈 값이다.

2.2. 실험 2의 결과

실험 1에서의 경사각인 19도는 실험을 진행하기에 너무 낮으므로 경사각을 어느 정도 올리고, 다양한 높이에서 공을 떨어뜨렸다. 원형 궤도 중 가장 낮은 부분의 높이는 10cm였고, 궤도 중 가장 높은 부분의 높이는 39cm였는데, 공을 약 높이 70cm에서 떨어뜨렸을 때, 공이 원 운동을 그치지 않고 계속하는 것을 관찰할 수 있었다.

3. Discussion

이 실험의 데이터에서 오차가 발생한 원인과, 이 오차를 제거할 수 있는 가능성, 그리고 실험 데이터에서 Conclusion을 얻어낼 때 어려울 수도 있는 점을 살펴보도록 한다.

3.1. 카메라와 프로그램의 성능 한계

실험 도중, 프로그램이 물체에 대한 색 인식을 진행할 때 경사면에 공을 놓는 실험자의 손을 피사체로 인식하고 공 대신 손의 위치를 추적하는 모습을 반복적으로 관찰할 수 있었다. 이런 모습은 공이 떨어지고 얼마 되지 않았을 때(공이 아직 손과 가까이 있을 때)에만 집중적으로 관찰되었다. 이를 통해 얻어낸 데이터는 공의 위치를 대변해주지 못하기에 실험 데이터를 오염시키는 것을 뛰어넘어 무의미한 자료라고 판단하였고, 데이터의 오염이 상술했듯이 초기에만 일어났기 때문에 오염된 데이터를 손쉽게 제거할 수 있었다.

종종 카메라가 프레임을 중복 캡처하는 일도 종종 일어났으나, 이는 쉽게 제거하기가 어려워 데이터에 포함시킬 수밖에 없었다.

3.2. 정확하지 않은 길이 측정

공이 구르기 시작하는 위치와 자의 위치가 거의 동일하였으나, 좌표계 설정 당시 길이를 설정할 때 시작점과 마지막 점을 이은 선과 자가 완전히 평행하도록 설정하지 못했다. 이로 인해 어느 정도 길이에 대한 오차가 생겼을 것으로 추정된다.

3.3. 마찰력의 영향을 정확하기 알기 어려움

공이 궤도를 굴러갈 때 꽤 큰 소리를 내면서 굴러갔고, 공기 저항 또한 공에게 영향을 주었을 가능성이 크기 때문에 역학적 에너지의 손실이 오로지 궤도와 공 사이의 마찰력 때문에 일어났다고 보기가 매우 어렵다. 이런 이유로 Conclusion에서 마찰력의 영향을 알아볼 때 일정 부분 오류가 생길 가능성이 있다.

4. Conclusion

실험 1에서 역학적 에너지의 보존 여부에 대해 확인할 수 있었다. 결과부터 말하자면, 공이 내려간 높이 차가 어떻든 간에 공의 역학적 에너지가 전체적으로 감소하는 경향을 보이는 것을 확인할 수 있었다.

이를 확인하기 위해, 첫 번째로 1.2.2에서 말한 시간 측정을 통한 에너지 보존 확인 방법을 사용해보았다. 우선 이론적으로는 시간이 어떤 값으로 나와야 하는지 알아보았다.

첫 번째와 두 번째 실험에서는 높이가 38cm인 곳에서 13cm인 곳으로 공을 굴렸다. 그러므로,