[서울대 물리학실험 2-6] 전류가 만드는 자기마당

물리학실험 2-6

2-6. 전류가 만드는 자기마당

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 표절 시 발각될 확률이 높으니 참고만 해 주시길 바랍니다.

1. Introduction

1.1. 실험 목적

단순한 형태의 도선을 통해 흐르는 전류가 있을 때, 그 주변에 자기장이 어떻게 형성되는지 관측하며, 비오-사바르 법칙을 정성적으로 확인한다.

1.2. 배경 지식

1.2.1. 비오-사바르 법칙

그림 1 도선, 전류, 자기장의 모형

위 그림과 같이 도선의 매우 짧은 부분 에 의한 P점에서의 자기장의 크기 는 도선에 흐르는 전류 에 비례하며, 도선의 매우 짧은 부분 로부터의 거리 의 제곱에 반비례한다. 또, 와 벡터의 사이각이 일 때, 는 에 비례한다. 또한, 그 자기장의 방향은 과 동일하다. 이를 수식으로 표현하면,

이를 이용하면, 무한히 긴 전기 도선으로부터 직선 거리 만큼 떨어진 지점에서의 자기장 에 대해,

1.2.2. 앙페르 법칙

그림 2 앙페르 법칙 모델

그림 2와 같이 어떤 임의의 닫힌 고리에 대해 고리로 둘러싸인 단면을 통과하는 알짜 전류가 라면, 고리를 따라 각 지점에서의 자기장 벡터를 선적분한 값은 다음과 같다.

이를 이용해서 솔레노이드 중심축에서의 자기장 크기를 계산할 수 있다. 무한히 길고 단위 길이 당 도선을 감은 횟수가 인 솔레노이드에 의 전류가 흐른다면, 솔레노이드 내부 자기장 에 대해,

하지만, 실제로 솔레노이드는 무한히 길지 않다. 만약 솔레노이드 중심축 중 위치 에서 자기장을 라고 하고, 각도 과 을 각각 P 점에서 솔레노이드의 오른쪽 끝과 왼쪽 끝을 잇는 선분이 중심 축과 이루는 각도라고 하면,

1.2.3. 정사각형 고리에서의 자기장

감은 수가 이고, 전류 가 흐르는 한 변의 길이가 인 정사각형 도선 묶음이 있고, 정사각형 고리의 중심축 위 점들 중 정사각형 도선 묶음이 속한 평면으로부터 만큼의 거리를 갖고 있는 점에 작용하는 자기장의 크기를 로 두었을 때, 비오-사바르 법칙을 이용하면 아래와 같은 결과가 나온다.

1.3. 실험 방법

사각 코일, 파워 서플라이, 솔레노이드 (총 감긴 수 500회), 자석, 나침반, 홀-센서, 홀-센서 전원 장치, 컴퓨터, 방사형 평면, 30cm 자를 준비한다.

1.3.1. 보정 작업

① Offset 보정 : 자기장이 없는 영역에서의 센서 출력 값이 0이 되도록 만드는 과정이다. (전자기기에서 멀리 떨어진 곳에서 센서가 화면에 출력하는 x, y, z 값이 0.1V 이하가 되면, 컴퓨터 Calibration 메뉴에서 Zero를 눌러 그 위치에서의 자기장 크기는 프로그램에서 무시하도록 설정하면 된다.)

② 홀-센서 보정 : 자기 마당에 대한 비례 상수는 센서 종류나 전류, 온도 등에 따라 달라지므로, 전압을 자기마당으로 바꿔주는 보정을 진행한다. (솔레노이드의 중심에서 자기마당이 20G가 되도록 전류를 넣고, 홀-센서를 솔레노이드의 중심 축에 평행한 방향으로 넣어 z 방향 전압이 20G가 될 때까지 기다린다.)

1.3.2. 솔레노이드 내부의 자기장 측정

① 전류를 변화시키며 솔레노이드 중심 자기마당을 측정하고, 전류에서의 의존도를 확인한다. (전류의 방향이 바뀌는 것 또한 확인한다.)

② 전류 값을 고정한 다음, 센서 위치에 따라 자기마당이 어떻게 변화하는지 또한 조사한다.

1.3.3. 사각 코일 중심축에서의 자기장 측정

① 홀 센서를 수평 방향으로 눕히고, 사각 코일 중심축 상에 위치시킨 뒤, z-축 방향 자기 마당 성분을 읽는다.

② 홀 센서의 위치를 바꾸며 위 과정을 반복한다.

2. Data & Result

2.1. 실험 조건

솔레노이드에 대한 조건은 까다로웠다. 그 이유는 솔레노이드의 단위 길이당 감은 수가 일정하지 않았기 때문이었다. 솔레노이드의 양쪽 끝 부분은 솔레노이드의 중앙에 비해 감은 수가 현저히 적었다. 이로 인해 솔레노이드의 지름과 길이에 대한 값을 결정하는 부분에 있어서 어려움을 겪었는데, 솔레노이드 중앙 부분의 지름인 5cm를 솔레노이드의 길이로 두었으며, 솔레노이드의 길이는 13.8cm로 두었다. 하지만, 홀-센서의 위치를 결정할 때에는 솔레노이드 양쪽 완전히 끝부분 사이의 길이인 15cm를 솔레노이드의 길이로 두었다. 솔레노이드의 총 감긴 수는 500회였다.

정사각형 고리의 경우, 감긴 수는 30회라고 기구에 적혀 있었으며, 한 변의 길이는 17.5cm였다.

2.1. 솔레노이드에 대한 측정

2.1.1. 전류에 대한 자기장의 변화

홀-센서의 위치를 솔레노이드 중심축의 중앙에 고정시킨 다음에 전류의 크기를 변화시키며 자기장의 크기가 어떻게 변화하는지 측정해보았다. 다음은 이를 그래프로 나타낸 것이다.

그림 3 전류의 크기에 따른 자기장 변화

위와 같이 y절편을 0으로 한 직선 관계가 매우 강하게 드러나는데, 이는 자기마당의 값이 전류의 값에 비례한다는 이론의 예측과 일치한다.

또한, 이론에 따르면 전류에 대한 자기장의 직선 관계에 대한 함수식의 기울기는 다음과 같다.

(솔레노이드의 길이: L, 솔레노이드의 반지름: r)

이 이론 값은 실험 데이터에 대한 추세선의 기울기인 46.289와 매우 유사하다.

측정 오차는 자기장에 대해서는 , 전류에 대해서는 가 적용되었는데, 매우 작아 그림 3에 보이지 않는다.

보통 결정계수를 산출할 때에는 실험 데이터를 이용하여 그려낸 추세선을 이용하여 결정 계수를 계산하지만, 이론 값으로 그려낸 직선을 실험 데이터에 대한 추세선으로 두고 결정 계수를 계산하고, 이를 통해 실험 값과 이론 값이 얼마나 유사한지 확인해 보았다. 그렇게 해서 산출된 결정계수의 값은 약 0.998420153로, 1에 가까운 매우 높은 값이어서 실험 값과 이론 값의 유사도가 매우 높음을 보여주었다.

2.2.2. 위치에 대한 자기장의 변화

솔레노이드에 흐르는 전류의 크기를 일정하게 한 상태에서 홀-센서의 위치를 변화시키며 자기장의 값이 어떻게 변화하는지 측정해보았다. 이를 그래프로 나타내고, 이론이 예측한 값과 얼마나 차이를 보이는지 비교해 보았다.

(0cm : 솔레노이드의 왼쪽 끝)

그림 4-1, 4-2, 4-3 위치에 따른 자기장의 변화

측정 오차는 자기장에 대해서는 , 위치에 대해서는 가 적용되었는데, 매우 작아 그림 4에 보이지 않는다.

다양한 전류 값에 대해서 모두 높은 유사도를 보이는 것을 확인할 수 있다. 특히, 전류의 크기가 0.1A일 때는 그 유사도가 매우 크다는 것을 확인할 수 있다.

유사도를 정량적으로 확인하기 위해, 이론 값에 대한 실험 값의 오차율을 그래프로 나타냈다.

그림 5 이론 값에 대한 실험값의 오차율

오차율이 전부 20% 미만이고, 대부분 10% 미만으로, 이론 값과 실험 값과의 차이는 크지 않았다. 그래프에서 보면, 12cm 부근이나 솔레노이드의 중앙 부분에서 오차율이 커지는 것을 확인할 수 있는데, 이는 솔레노이드의 단위 길이 당 도선을 감은 수가 중앙 부분에서 많았고, 또, 왼쪽(0cm 부근)에 비해서 오른쪽(15cm 부근)에서 많았기 때문인 것으로 추정된다.

2.3. 정사각형 고리에 대한 측정

만약, 1.2.3에 등장했던 정사각형 고리의 중심축에서 자기장의 크기에 대한 공식을 아래와 같이 쓸 수 있다면,

실험 값에 대한 이론으로 추정해낸 값의 비율은 일정해야 할 것이다.

그림 6-1, 6-2 사각 고리 면으로부터의 거리에 따른

자기장 크기의 변화

그림 6에서 볼 수 있듯이, 그 비율이 매우 일정한 것을 확인할 수 있다. 이는 위의 공식을 실험으로써 정성적으로 확인했다는 뜻이 된다.

하지만, 실험 값이 이론으로 예측한 값의 약 두 배가 나오는 것을 그래프를 통해 확인할 수 있었다. 이는 1차 실험과 2차 실험에서 모두 동일한 결과가 나왔다. 이는 보정의 오류나 실험 조건에 대한 잘못된 정보, 아니면 외부의 요인(외부 자기장) 등에 의해 발생한 것으로 보이는데, 솔레노이드에 대한 실험을 진행할 때에는 보정의 오류가 이렇게 심하지 않았던 것으로 보아 실험 조건에 대한 잘못된 지식이나 외부의 요인으로 인해 이러한 일이 발생한 것으로 보인다. 특히, 다른 전류 값에 대해서 실험 값에 대한 이론 값의 비율이 매우 흡사하게 나온 것을 들었을 때, 외부 자기장의 요인보다는 실험 조건에 대한 잘못된 지식이 매우 유력한 후보라고 예측할 수 있었다.

3. Discussion

이 부분에서는 실험의 결과에 영향을 미칠 수 있으나 제거하지 못했던 요인에 대해 분석한다.

3.1. 솔레노이드의 감긴 수가 불균일함

솔레노이드의 단위 길이당 감긴 수가 균일해야 실험 결과가 제대로 나오는데, 눈으로 확인해도 티가 날만큼 그 감긴 수가 균일하지 않았다. 중앙에 도선이 더 많은 횟수만큼 감긴 것이 보였으며, 왼쪽 끝보다는 오른쪽 끝에 도선이 더 많이 감긴 것이 보였다. 2.2.2의 그래프를 보면 오른쪽 끝이 왼쪽 끝에 비해서 자기장의 크기가 더 큰 등 이러한 요인이 작용된 것을 확인할 수 있다. 이로 인해 실험 데이터에 오차가 생겼을 수 있다.

3.2. 홀-센서 보정 오류

사실 가장 큰 문제 중 하나였는데, 프로그램이 offset의 결정에 대해서는 정확성을 어느 정도 보여주었으나 전압에 대한 자기장의 변화율을 결정하는 것은 항상 실패한다는 것이었다. 본래 솔레노이드에 전류 A가 흐를 때 솔레노이드 중앙에서 20G의 자기장을 측정하도록 설정하면 A보다 작은 전류 A에서도 20G의 자기장이 측정되는 등 보정에 큰 오류가 있었는데, offset은 제대로 보정되었다고 가정하고 본래 측정된 자기장에 배를 함으로써 이러한 오류를 어느 정도 보정해 주었다.

3.3. 홀-센서의 성능 한계

홀-센서의 민감한 정도가 실험에 충분치 않았다. 특히 솔레노이드 실험 도중 홀-센서가 측정하는 자기장이 아주 미세한 움직임에 대해서도 0.4G 단위로 비연속적으로 변화하는 등 측정 한계를 보이는 것을 쉽게 볼 수 있었다. 이는 이번 실험 데이터를 측정하는 데 있어서 어느 정도 큰 성능 한계라고 볼 수 있다.

게다가 실험 도중 동일한 위치에서 측정한 자기장의 크기가 큰 폭으로 변화하는 것을 볼 수 있었는데, 이것 또한 홀-센서의 성능에 문제가 있어서 일어난 것으로 보인다. 이것은 실험 결과에 큰 오차를 가져올 수 있다.

3.4. 측정 한계

전류의 크기를 조정할 때 0.01A 단위 크기로 조절하였으며, 위치를 측정할 때에도 1mm 단위 크기로 조절하였으므로 이러한 측정 단위로 인한 측정 한계가 발생하여 실험 결과에 오차를 가져왔을 수 있다.

3.5. 오차에 대한 분석

실질적으로 오차에 대한 분석을 정량적으로 진행할 수 있는 요인은 3.3과 3.4의 요인밖에 없다.

2.1.1의 전류에 대한 자기장 변화에 대한 실험에서 자기장 크기에 대한 오차를 로 준다면 전류에 대한 자기장 크기 그래프의 최소와 최대 기울기, 그리고 이론으로 예측한 데이터를 추세선으로 뒀을 때 산출되는 결정 계수 값을 산출하면 다음과 같은 결과가 나온다.

	기울기	결정계수
최소 기울기	46.289	0.99502202
최대 기울기	46.289	0.99461001

표 1 2.1.1 실험에 대한 오차

오차를 적용하지 않았을 때와 큰 차이를 보이지 않으며 직선 관계까지 크게 보이는 것을 확인할 수 있다.

2.1.2의 위치에 대한 자기장 변화에 대한 실험에서 자기장 크기에 대한 오차를 로 준다면 이론 값에 대한 실험 값의 최대 오차율의 그래프는 다음과 같이 나타난다.

그림 7 2.1.2 실험에 대한 최대 오차율 그래프

상당히 오차율이 커지는 것을 발견할 수 있으나, 일부를 빼고는 모두 오차율이 20% 이하인 것을 확인할 수 있다.

실험 2.3에서는 실험 데이터 중 자기장의 크기가 모두 약 5.2G 이하이고 2.5G 이상인데, 이에 자기장 크기에 대한 오차 를 적용하면 7.7 ~ 16%의 오차율을 보이게 되며, 이는 실험값에 대한 이론 값의 비율에도 같은 크기의 오차율(7.7 ~ 16%)을 주게 된다.

4. Conclusion

이 실험에서는 간단한 형태의 도선에 흐르는 전류에 의해 생성된 자기장에 대해 알아보았다. 실험에서는 솔레노이드와 정사각형 고리를 사용하여 이론에 대한 확인을 진행하였다.

그러나, offset 보정 후 홀-전압에 대한 자기장의 계수를 결정하는 과정 중에 문제가 생겨 실험 데이터의 크기에 큰 문제가 발생하였다. 이는 솔레노이드 중앙의 자기장이 20G가 될 때 솔레노이드에 흐르는 전류의 크기를 다시 측정하고 이에 대한 보정을 함으로써(3.2 참고) 문제를 어느 정도 해결하였다.

솔레노이드를 이용한 실험에서는 전류의 크기에 대한 자기장 크기의 변화와 중심축 상 위치에 따른 자기장 크기의 변화를 확인하였다. 이론 상으로 솔레노이드가 만드는 자기마당의 크기는 솔레노이드에 흐르는 전류의 크기에 비례해야 한다. 그래프를 그려서 확인한 결과, 전류의 크기와 자기마당의 크기 사이에 비례 관계가 있음을 보일 수 있었다. 위치에 따른 자기장의 변화의 경우에도 이론에서 예측한대로 중앙에서 자기장이 커지고 중앙에서 멀어질수록 자기장의 크기가 작아지는 것을 볼 수 있었으며, 실험에서 측정한 자기장의 크기 또한 이론에서 예측한 값에서 크게 벗어나지 않는 것을 볼 수 있었다. 이로써 솔레노이드에 대한 이론을 정량적으로 확인할 수 있었다.

정사각형 도선 고리를 이용한 실험에서는 중심축 상의 점과 고리를 포함한 면 사이의 거리에 따른 자기장 크기의 변화를 확인하였다. offset은 잘 보정된 것으로 보이므로, 이론 값과 실험 값의 비율이 일정한지 확인하여 이론을 정성적으로 확인하였다. 이론 값과 실험 값의 비율을 산출하여 그래프에 나타낸 결과 그 꼴이 상수 함수처럼 값이 일정한 형태로 출력된 것을 볼 수 있었다. 그러나 실험 값에 대한 이론 값의 비율은 100%에 가깝지 않았고 50%에 가까웠는데, 이에 대한 요인으로는 보정 오류나 주변 자기장 환경의 영향, 실험 조건에 대한 잘못된 지식을 들 수 있었다. 특히 다른 전류 값에서 실험 값에 대한 이론 값의 비율이 같게 나온 것을 보았을 때 이들 중 가장 유력한 후보로 실험 조건에 대한 잘못된 지식을 꼽을 수 있었다.

실험에 대한 오차 원인으로는 보정 오류나 솔레노이드의 불균일한 단위 길이당 도선의 감은 수, 홀 센서 성능 한계와 측정 한계로 꼽을 수 있었다.

실험에 대해 보완해야 할 점도 많았다. 홀-센서의 위치가 막대 중 정확히 어디인지 알 수 없었다는 것이 매우 큰 문제였다. 또한 홀-센서의 성능이 좋지 않은 지 측정 도중 동일 위치에서 측정한 값이 시간에 따라 계속 달라지는 등 실험에 오차가 생길 만한 요인이 수없이도 많았다. 게다가, 정사각형 고리도 지나치게 조악한 형태로 만들어진 것 같았다. 실험을 보완하기 위해서는 더 좋은 성능의 홀-센서와 정교한 형태의 정사각형 고리가 필요할 것 같다.

*Reference

1. <2-6. 전류가 만드는 자기마당>, 《Physics Laboratory》, 서울대학교 물리천문학부 편.