[서울대 물리학실험 2-2] 등전위선

물리학 실험 2-2

2-2. 등전위선

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 이를 표절해서 제출하면 무조건 F를 받을 것입니다. 참고용으로만 쓰십시오.

참고: http://physlab.snu.ac.kr/newphyslab/lab/exp_b3.htm

I. Introduction

1.1. 실험 목적

서로 떨어진 전하 사이에 미치는 힘을 이해할 때 전기장과 전위 차의 개념을 도입하면 편리하다. 이때, 등전위선은 전위가 같은 지점을 연결한 가상의 선으로, 이 실험에서는 두 전극 사이에 등전위선이 어떤 형태로 형성되는지 확인한다.

1.2. 배경 지식

1.2.1 전기장과 전위차

전기장 ()은 +1C(쿨롱)의 전하를 어떤 위치에 가져왔을 때 전하가 받는 전기력을 의미한다. 벡터 값이므로 방향과 크기를 모두 포함하는 물리량이다.

전위 차는 두 지점 사이에 +1C의 전하를 등속도로 옮기는데 드는 일을 의미한다. 위치가 인 곳에서 인 곳으로 전하가 옮겨진다고 할 때, 전위 차가 라면 다음의 식이 성립하게 된다.

이때, 전위차는 두 지점 사이에서 전하가 이동하는 경로에 무관하다. 전하를 옮겼을 때 처음과 끝 지점이 같다면 전위차도 무조건 같게 된다.

1.2.2 등전위선

등전위선(면)은 전위가 같은 지점들을 이은 선 또는 면을 의미한다.

전기력선은 전기장 벡터를 연속적으로 이어 놓은 선을 의미한다.

이때, 전기력선과 등전위선은 수직을 이루게 된다.

1.2.3 여러 상황에서 전기력선의 모양

그림 1 전기력선의 모양

(a)와 같이 균일한 전기장이 생성되는 경우, 전기력선은 등간격의 직선이 되고, 등전위선(면)은 이에 수직한 등간격의 직선(평면)이 된다.

(b)와 같이 점 전하가 전기장을 생성하는 경우 전기력선은 방사 상으로 뻗어 나가게 되며, 등전위선(면)은 점 전하에 가까울수록 간격이 좁아지는 것을 볼 수 있다.

전기 쌍극자는 (c)와 같은 전기력선을 그려내는 것을 볼 수 있다.

1.2.4 도체와 전기장

도체 내부에서는 전기장이 0이 되어야 하므로, 대전된 도체의 전하는 모두 도체 표면에 분포하게 되며, 도체 표면은 등전위면이 된다.

1.3. 실험 방법

실험 장비 : 전기 전도성 종이, 탐침, 등전위선 장치, 파워 서플라이, 입력 단자대, 컴퓨터, 원형 전극, 막대 전극, 어댑터, USB 메모리 등등

① 전극 받침대와 파워 서플라이를 연결한다.

② 흑연판의 가장자리에 원형 전극을 고정시킨다.

③ 전극 받침대의 끝부분을 각각 원형 전극 위에 올려놓는다.

④ 프로그램을 실행시킨다.

⑤ 탐침을 흑연판 위에서 이동시키며 화면에 등전위선을 그린다.

2. Data & Result

2.1. 그림의 개요

기준 전압을 각각 1.065V, 1.368V, 1.685V로 두었을 때 등전위선 그림이 어떻게 나오는지 확인해 보았다. 등전위선은 0.2V의 간격으로 그려졌다.

그림 2 1.065V의 기준 전압

그림 3 1.368V의 기준 전압

그림 4 1.685V의 기준 전압

마치 크기가 같지만 부호가 반대인 전하량을 가진 두 점 전하가 만들어내는 등전위선의 모양과 매우 흡사한 것을 확인할 수 있다.

2.2. 이론에 대한 확인

2.2.1 등전위선과 원

전하량의 절댓값이 인 점 전하 하나에 가까운 지점 에서 가까운 점 전하와의 거리를 , 먼 점 전하의 거리를 라고 두도록 하자. 점 에서의 전위 에 대해,

가 성립하게 되는데, 만약 이 작고 가 그에 비해 훨씬 크다면 점 의 위치가 상대적으로 작은 정도 변화했을 때 의 변화율은 미미해 보이는 효과가 난다. 즉, 점 의 위치가 어떤 점에 매우 가깝다면 전하량 등이 일정할 때 일변수함수로 취급할 수 있다는 것이다. 그러므로 점 전하에 가까운 곳에서 등전위선은 원에 가까운 형태를 그리게 된다.

그림 2, 그림 3, 그림 4을 보면 점 전하와 유사한 역할을 하는 원형 전극에 가까운 위치에서는 등전위선이 원과 비슷한 형태를 띠고 있는 것을 발견할 수 있다.

이는 데이터 상으로 보다 정밀하게 판정할 수 있다. 유사한 전위 값을 보이는 위치에서 가까운 점 전하까지의 거리에 대한 분포를 그래프로 나타내어 판정해 보았다. (전위에는 절댓값을 씌웠다.)

그림 5 1.065V의 기준 전압

그림 6 1.368V의 기준 전압

그림 7 1.685V의 기준 전압

전위 값이 비슷한 경우 가까운 점으로부터의 거리 값이 비슷하게 나왔으며, 이는 등전위선의 형태가 원과 유사함을 시사한다.

2.2.2 전위에 관한 공식 확인

전하량이 인 점 전하로부터 만큼, 전하량이 인 점 전하로부터 만큼 떨어진 지점에서의 전위의 이론 값은 다음과 같다.

그러므로 이 실험에 대해 기준 전압이 같은 상황에서 전위의 절댓값이 같은 지점인 곳에서는 또한 같아야 한다.

이를 확인하기 위하여 그림 1, 2, 3에서 표시된 점이 가지는 지점에서의 전위와 값의 분포에 대한 그래프를 그려 보았다.

그림 8 1.065V의 기준 전압

그림 9 1.368V의 기준 전압

그림 10 1.685V의 기준 전압

만약 실험 값이 이론에 맞게 나왔다면 이 그래프의 분포는 각 전위 값에 해당하는 점들이 끼리끼리 한 점처럼 최대한 뭉쳐 있어야 한다. 작은 크기의 전위에 해당하는 점들의 경우 상대적으로 조밀하게 뭉쳐 있는 것을 관찰할 수 있으나, 큰 크기의 전위, 특히 매우 큰 크기의 전위에서는 값이 일정하게 나오지 않고 분포가 분산되어 그려졌다는 것을 그래프를 통해 확인할 수 있었다. 그 부분이 분포하는 지점은 원형 전극과 지나치게 가까워서 탐침으로 제대로 전위 값을 측정하기 어려운 지점임을 감안하고, 그 부분을 제외하여 그래프를 해석하면 이론의 예상과 유사하게 결과가 나왔음을 확인할 수 있다.

2.2.3 등전위선 사이의 간격

같은 간격 내에 기준 전압만큼의 전위차가 이뤄져야 하므로, 등전위선의 간격은 기준 전압의 역수에 비례할 것이라고 추측할 수 있다. 이를 실제로 실험 측정 값을 통해 확인해 보았다.

그림 2, 3, 4에서 등전위선과 축과의 교점, 그리고 원점 사이의 거리를 ‘등전위선과 원점 사이의 거리’로 두고, 이의 비율을 계산해 보았다. 또한, 그림 2에서의 기준 전압인 1.065V를 이미 안 상태에서 비율을 계산했다고 가정을 하고, 그림 2에서의 기준 전압과 계산된 비율을 토대로 그림 3과 4에서의 기준 전압 값을 추측하여 아래와 같은 표를 만들었다.

	그림 2	그림 3	그림 4
0.2V 전위	1.065	1.3572558	1.7685454
0.4V 전위	1.065	1.3518329	1.6628374
0.6V 전위	1.065	1.2983739	1.5267177
평균	1.065	1.3358209	1.6527002
표준편차		0.0265713	0.0989856

표 1 기준 전압의 추측 값

실제 값인 1.368V(그림 3)와 1.685V(그림 4)를 비교해 보았을 때 값이 매우 유사하다는 것을 알 수 있었다. 등전위선 간격이 기준 전압에 반비례하다는 것을 확인해 볼 수 있었다.

3. Discussion

실험 데이터나 이의 해석 등등에 예상치 못한 방법으로 영향을 미쳤을 수 있는 (또는 오염을 시켰을 수 있는) 요인들에 대해 살펴 보았다.

3.1. 측정의 정확성에 대한 한계

기계 장치를 이용해 값을 측정하였으나 기계에도 측정의 정확성에 한계가 있기 때문에 기계 성능의 한계가 데이터의 정확성에 대한 한계를 가져다 줬을 가능성이 있다.
실제로도 실험 데이터를 토대로 만들어낸 그림을 보면 등전위선이 살짝 갈라져 있거나 그 두께가 두꺼운 부분을 발견할 수 있는데, 이는 프로그램이 기계 장치의 측정 한계 등을 고려하여 어느 정도 유사한 전위 값을 가진 지점의 값이라면 모두 데이터에 포함시켰기 때문이라고 생각된다.

3.2. 원형 전극과 점 전하의 차이

실험 데이터를 해석할 때에 원형 전극이 점 전하와 동일한 역할을 했다고 가정하고 해석을 진행했는데 실제로는 점 전하와 원형 전극이 만들어내는 전기장이나 등전위선에 차이가 있을 수 있다.

4. Conclusion

원형 전극을 등전위선 장치에 연결했을 때, 원형 전극이 만드는 등전위선이 모양이 마치 원형 전극 각각이 서로 다른 부호에 크기는 같은 전하량을 가진 점 전하가 만들어내는 등전위선과 닮았음을 볼 수 있었다. 이 점을 이용하여 등전위선에 관한 이론을 확인해 보았다.
첫 번째로 점 전하에서 가까운 곳에서는 등전위선이 원에 가까운 형태를 띠는 지를 확인해 보았다. 등전위선의 그림을 보았을 때 원에 가까운 형태임을 확인하긴 하였으나 더욱 정밀한 분석을 위해서 원에 가까운 등전위선 위의 지점이 가까운 점 전하로부터 일정한 거리에 있는지 그래프를 통해 확인해 보았다. 전위의 값이 같다면 반지름도 거의 같아 한 점처럼 모여 있는 형태가 나오면 등전위선이 원에 가까운 형태를 가지고 있다고 볼 수 있는데, 완전하지는 않지만 어느 정도 낮은 전위의 범위에서는 그래프가 어느 정도 한 점에 뭉쳐 있는 것을 확인할 수 있었다;.
두 번째로 전위에 관한 공식이 실험에서 잘 성립했는지 확인해 보았다. 전위가 일정하다면 두 점 전하에서 각각 떨어진 거리의 역수에 대한 차가 일정하게 되는데, 이 또한 전위와 거리 역수의 차에 대한 분산 그래프를 그려서 확인할 수 있었다. 확인한 결과, 유사한 전위 값을 지닌 지점에서 거리 역수의 차 또한 매우 유사하게 실험에서 나왔음을 볼 수 있었다.
세 번째로 등전위선의 간격이 기준 전압에 반비례 한지 확인해 보았다. 등전위선 간격이 기준 전압에 반비례하다고 가정하여, 등전위선 간격을 토대로 기준 전압을 추정했을 때 그 값이 실제의 값과 얼마나 유사한지 확인하였다. 계산 결과 실제의 값과 어느 정도 유사한 값을 보이는 것을 확인할 수 있었다.

이 실험에 예상치 못한 데이터의 오염 등등을 가져올 수 있는 요인으로는 기계 성능의 한계나 원형 전극이 점 전하로서 할 수 있는 역할의 한계 등을 꼽을 수 있었다. 이러한 요인을 고려해 봤을 때 이번 실험의 결과는 이론에 대한 확인을 충실하게 해냈다고 말할 수 있을 것이다.

* Reference

1 서울대학교 물리천문학부, 『실험 2-2. 등전위선』, 2017, 5