[서울대 물리학실험 1-5] 당구의 역학

물리학 실험 1-5

1-5. 당구의 역학

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 표절 시 발각될 확률이 높으니 참고만 해주시길 바랍니다.

1. Introduction

1.1. 실험 목적

① 물체의 충돌 발생 전후로 운동 상태를 비교하여 운동량 보존과 에너지 보존 여부를 확인한다.

② 탄성체에 충돌하는 물체의 운동을 살피고, 운동 에너지와 탄성 퍼텐셜 에너지 사이의 교환을 조사한다.

1.2. 배경 지식

1.2.1 내력

2차원 충돌을 하는 입자의 경우 충돌 과정에서 이 계에 작용하는 힘은 서로 밀치는 힘으로, 두 입자에 같은 크기, 반대 방향으로 작용하게 된다. 이러한 힘을 계의 속힘(내력)이라고 부른다.

1.2.2 물체의 충돌

그림 1 두 물체의 충돌

이 두 물체가 충돌할 때, 선운동량이 보존됨을 이용해서 식을 구해보도록 한다. 단, 이 충돌은 완전 탄성 충돌이라고 가정하고 구해보도록 한다.

우선, 고립된 계에서 선 운동량이 보존되므로,

또, 완전 탄성 충돌에서는 운동 에너지 또한 보존되므로,

이때, 충돌하는 두 물체의 질량이 같다고 가정하고, 공 하나는 정지한 상태였다고 가정하자. 편의상 이라고 놓고 식을 세운다.

위 식을 종합하면,

이때, 라고 한다면,

1.2.3 마찰력의 작용

어떤 물체가 속력 로 운동하고 있을 때, 그에 작용하는 마찰력을 이라고 하면,

꼴로 나타내면,

에서 속력이 이면, 위 식을 적분했을 때,

이 식에 자연로그를 씌우면,

이 직선으로 맞춤(fitting)하여 를 구한다.

1.2.4 입사각과 반사각

알루미늄 판이 벽과 충돌한다고 하자. 그 입사각을 , 충돌 직전의 속력을 , 충돌 직후 속력을 , 반사각을 이라 했을 때, 선 운동량 중 벽과 평행한 성분은 보존된다.

완전 탄성 충돌이라면,

비탄성 충돌일 때는, ()

실제로는 벽과 평행한 선 운동량 성분이 감소하고, 판이 회전운동을 하는 것을 볼 수 있게 된다.

1.3. 실험 안내

1.3.1 실험 장비

공기 테이블, 속이 빈 원판 두 개, 알루미늄 원판 하나, 수평계, 자, 카메라, I-CA 프로그램

1.3.2 세팅

공기 테이블의 수평을 조정하고, 공기 테이블과 air blower을 관으로 연결한다.

1.3.3 질량이 다른 두 판의 충돌

① I-CA를 실행시키고, 화면 상의 사각 위치에서도 원판 위 하얀 점이 보이는지 확인한다.

② 물체 사이 충돌이 카메라에 잘 잡히는지 확인한다.

③ 속이 빈 원판 중 한 원판에는 알루미늄 원판을 넣고, 한 원판에는 넣지 않는다.

④ 각각의 질량을 측정한다.

(이 실험의 경우, 각각 61.5g, 46.5g이었다.)

⑤ 원판 중 무거운 원판을 정지한 상태로 둔 상태에서, 가벼운 원판을 무거운 원판에 충돌시키고, 그 모습을 카메라로 캡처한다.

⑥ 캡처 자료를 분석하고, 반복한다.

1.3.4 질량이 같은 두 판의 충돌

① 위 실험에서 알루미늄 원판을 넣었던 판에서 알루미늄 원판을 제거하여, 두 판의 질량이 같도록 한다. (이 실험에선 제거하면 46.5g)

② 위의 실험과 나머지는 동일하게 진행하고, 반복한다.

1.3.5 벽과 원판의 충돌

① 속이 빈 원판을 벽에 충돌시키고, 그 모습을 캡처한다.

② 캡처 자료를 분석한다.

2. Data & Result

2.1. 실험 1의 결과

충돌 실험을 3번 진행하였다. 정지한 61.5g짜리 원판을 향해 46.5g짜리 원판을 충돌시키는 실험이었다.

우선, 이 실험 결과에 대한 신뢰도를 높이기 위해 마찰력에 관한 비례 상수를 산출하였다.

라고 했을 때, 속력의 자연로그 값의 시간에 대한 기울기를 이용하여 의 값을 구해보았다. 속력을 구할 때에는 프레임 사이의 평균 속력을 이용하였으며, 그 속력은 원판 사이의 충돌 후 두 물체의 속력을 이용하였다. 속력의 시간에 대한 추세선을 그려서 값을 산출하였을 때, 다음과 같은 값이 나왔다.

	46.5g 원판	61.5g 원판
	-0.00019	-0.0019

표 1 마찰력에 대한 비례 상수의 값

비례 상수의 값이 0에 충분히 가깝다고 생각하여, 충돌을 하고 있지 않을 때의 물체는 등속도 운동을 하고 있다고 가정하였다.

선 운동량의 보존을 따질 때에는 선 운동량의 나누어서 성분의 선 운동량, 성분의 선 운동량의 보존을 따지기로 하였다. 이를 위해 시간에 따른 물체의 좌표와 좌표의 추세선을 그려보았다.

이때, x1과 y1좌표는 가벼운 원판, 즉 처음부터 움직이던 원판의 좌표이며, x2 좌표와 y2좌표는 무거운 원판, 즉 처음엔 정지해 있던 원판의 좌표이다.

충돌 전후의 운동량과 운동에너지를 비교하기 위해서는 물체가 언제 어디서 충돌하는지가 필요하다. 이를 알아보기 위해 물체의 위치 변화를 그래프로 나타냈다.

그림 2 실험 1-1에서 충돌 전후의 물체 위치

이를 통해서 알아낸 물체의 충돌 순간을 이용하여 추세선을 통해 각 물체의 충돌 전후 속력을 구해냈고, 이에 대한 결과는 다음과 같다. 추세선에 대한 값도 표에 포함하였다.

단, 물체 1은 초기에 움직이던 가벼운 원판, 물체 2 는 초기에 정지했던 무거운 원판이다. 그리고 속력에 대한 단위는 m/s이다.

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.35127	0.047953	0	0
	0.9996	0.9874

표 2 충돌 전의 물체 속력 : 실험 1-1

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.1197	0.16636	0.15963	0.0867
	0.9994	0.9999	0.9999	0.9996

표 3 충돌 후의 물체 속력 : 실험 1-1

다음 결과를 이용하여 충돌 전후 계의 총 운동량을 비교해 보았다.

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.0163341	0.0022298	0.015383	0.0024037

표 4 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 1-1

이 실험을 반복했을 때 나온 결과들을 다음과 같이 나열한다.

그림 3 실험 1-2에서 충돌 전후의 물체 위치

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.45758	0.085052	-0.01678	0.008903
	0.9996	0.9852	0.8551	0.6134

표 5 충돌 전의 물체 속력 : 실험 1-2

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.25817	0.24035	0.11796	0.11354
	0.9999	0.9999	0.9992	0.9995

표 6 충돌 후의 물체 속력 : 실험 1-2

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.020246	0.004502	0.019259	0.004194

표 7 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 1-2

그림 4 실험 1-3에서 충돌 전후의 물체 위치

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.47958	0.085881	0.022265	0.006676
	0.9976	0.9497	0.6846	0.3745

표 8 충돌 전의 물체 속력 : 실험 1-3

	물체 1, x	물체 1, y	물체 2, x	물체 2, y
속력	0.15952	0.23993	0.26842	0.10361
	0.9995	0.9999	1	0.9996

표 9 충돌 후의 물체 속력 : 실험 1-3

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.02367	0.004404	0.023926	0.004758

표 10 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 1-3

그리고 충돌 전후의 운동 에너지 차를 3개의 실험 각각에 대해 비교해 보았다. 아래의 결과는 충돌 전의 운동 에너지에서 충돌 후의 에너지를 뺀 값, 즉 운동 에너지가 손실된 정도이다. 단위는 J이다.

	1-1	1-2	1-3
에너지	0.000931	0.00133	0.00098

표 11 운동 에너지의 손실

2.2. 실험 2의 결과

이번에는 질량이 46.5g으로 같은 원반 2개의 충돌 테스트를 해 보았다. 실험 2도 실험을 3번 반복하였는데, 그 결과는 다음과 같았다.

그림 5 실험 2-1에서 물체의 충돌 모습

충돌 후 물체 경로의 사이각을 구하기 위하여 추세선과 그의 식을 얻어냈다.

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.020501	0.003801	0.025411	0.001365

표 12 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 2-1

그림 6 실험 2-2에서 물체의 충돌 모습

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.018736	0.003375	0.020629	0.0011

표 13 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 2-2

그림 7 실험 2-3에서 물체의 충돌 모습

	충돌전 x	충돌전 y	충돌후 x	충돌후 y
운동량	0.023323	0	0.029499	-0.00179

표 14 충돌 전후의 선 운동량 : 실험 2-3

또, 운동에너지는 어떻게 변화했는지 계산했을 때, 충돌 전 계의 운동에너지 – 충돌 후 계의 운동 에너지의 값은 다음과 같았다.

	1-1	1-2	1-3
에너지	0.000236	0.000425	0.000178

표 15 운동 에너지의 손실

그리고 위치 그래프의 추세선을 통해 얻은 경로의 기울기를 통해 충돌 후 물체 경로 사이의 각도를 계산했을 때, 그 각도는 다음과 같았다. 단위는 도이다.

	1-1	1-2	1-3
각도	78.68014	87.08484	63.55673

표 16 충돌 후 경로 사이 각도

2.3. 실험 3의 결과

46.5g짜리 원판을 벽에 튕겨내는 실험을 2번 진행하였다. 다음은 실험에 대한 결과이다.

그림 8 실험 3-1에서 벽과의 충돌 모습

m/s	충돌 전	충돌 후
속력	0.740841	0.616388

표 17 충돌 전후 원반의 속력

도	입사각	반사각
각도	37.47082	48.3661

표 18 입사각과 반사각의 비교

그림 9 실험 3-2에서 벽과의 충돌 모습

m/s	충돌 전	충돌 후
속력	0.608426	0.510481

표 19 충돌 전후 원반의 속력

도	입사각	반사각
각도	41.71458	51.18331

표 20 입사각과 반사각의 비교

1.2.4에 나온 상수 의 값을 계산했는데, 그 방법은 두 가지였다. 첫 번째는 입사각과 반사각의 사인 값 비율을 쓴 것이었고, 두 번째는 충돌 전후 원반의 속력 값 비율을 쓴 것이었다. 다음은 그 결과다.

	실험 3-1	실험 3-2
방법 1	0.66253	0.729363
방법 2	0.692241	0.703953

표 21 상수 의 계산

3. Discussion

다음은 결과를 분석할 때 고려해야 하는 요소이다.

3.1. 원판의 회전

운동 에너지에는 원래 회전 에너지가 포함되지만, 이 실험에서는 질량 중심의 움직임에 관한 에너지만 고려하여 계산하였다. 하지만, 원판이 서로 충돌할 때 서로의 운동 방향에 대해 비스듬히 충돌한 탓에 원판이 회전을 일으킬 수밖에 없었다. 회전 에너지가 실험 결과에 반영되지 않은 점을 고려해야 한다.

3.2. 공기 테이블의 균형

위치의 변화를 보았을 때, 공기 테이블의 균형이 잡히지 않았는지 여부는 무시해도 상관없다고 결론을 지었다.

4. Conclusion

우선, 이 운동에 마찰력이 끼칠 수 있는 영향에 대해서 조사하였다. 시간에 대한 log v의 함수를 조사했을 때, 그 직선의 기울기가 0에 가까워서 마찰력의 영향이 거의 없었다고 결론을 내렸다.

두 원반 사이의 충돌 전후로의 선 운동량 보존과 운동 에너지 보존 여부를 살펴 보았다. 대체적으로 충돌 전의 선 운동량과 운동 에너지는 충돌 후의 선 운동량과 운동 에너지와 값이 유사했으나. 보존된다고 말하기에는 차이가 어느 정도 있었다. 선 운동량의 보존이 일어나지 않은 이유로는 원반이 서로 비스듬히 충돌하면서 일으킨 원반의 회전을 꼽았다. 질량 중심의 움직임만이 데이터에 고려되었기 때문에 운동량 보존을 설명하기는 힘들다고 생각이 되었다.

그리고 운동 에너지의 보존이 일어나지 않은 이유로는 우선 충돌이 탄성 충돌이 아닌 비탄성 충돌이었다는 것을 꼽을 수 있었고, 원반의 회전 또한 그 이유로 꼽을 수 있었다.

특히 질량이 같은 원반 사이의 충돌에 관한 실험을 했을 때 충돌 후 원반의 경로 사이 각도가 90도가 되지 못한 것은 위와 같은 이유 때문이었다.

충돌이 비탄성 충돌이었을 가능성이 높다는 것은 실험 3에서 보일 수 있었다. 실험 결과는 충돌이 탄성 충돌이었을 때 볼 수 있는 결과보다는 비탄성 충돌이었을 때 볼 수 있는 결과에 가까웠음이 그 근거이다. 실제로 데이터에서 계산해낸 상수 는 1에 가깝지 않은 수였다.

* Reference

1 서울대학교 물리천문학부, 『실험 1-5. 당구의 역학』, 2015, 10