[서울대 물리학실험 1-4] 자이로스코프

물리학 실험 1-4

1-4. 자이로스코프

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 표절 시 발각될 확률이 높으니 참고만 해주시길 바랍니다.

참고: http://physlab.snu.ac.kr/documents/manual/Ko/1-4.pdf

1. Introduction

1.1. 실험 목적

토크와 각운동량을 이해하고, 자이로스코프의 세차 운동을 관측한다.

1.2. 배경 지식

1.2.1 토크와 각운동량

토크 에 대해서,

또, 회전 운동의 물리량인 각운동량 에 대하여,

이를 시간에 대하여 미분하면,

그리고, 이므로

이를 벡터식으로 표현하면,

1.2.2 세차운동

그림 1 회전 장치

그림 1과 같이 회전하는 장치가 있다고 하자. 이 바퀴가 회전하지 않을 경우, 중력에 의한 토크가 작용하여 초기에 이었던 각운동량을 변화시킨다. 그래서 회전바퀴가 아래로 떨어지는 모습을 보인다.

그림 2 회전 바퀴가 돌지 않는 상태에서의 모습

반면, 회전 바퀴가 회전하고 있던 상태에서 중력의 영향에 놓이게 되면, 중력에 의한 토크 가 각운동량에 수직하게 작용하여 각운동량을 변화시키는데, 각운동량의 끝점은 원을 그리게 된다. 이 때문에 회전바퀴가 낙하하지 않고 정점 주변을 원을 그리며 움직이게 된다.

그림 3 회전 바퀴가 돌 때의 모습

w가 회전 바퀴의 무게이고, r이 세차운동의 회전축에서부터 회전 바퀴 사이의 거리라고 할 때, 회전바퀴가 움직이는 세차 각속도 에 대하여,

실험에서는 다음 식을 쓴다.

여기서 M은 무게추의 질량, R은 축이 고정된 점에서부터 무게추 사이의 거리이다.

1.2. 실험 안내

1.2.1 설정 과정

자이로스코프 장치에 전원을 연결하고, RS232-USB 케이블을 사용하여 실험 장치를 컴퓨터에 연결한다. SensorLAB을 설정하고, Connect 버튼을 눌러 장치와 통신이 잘 이루어지는지 확인한다. 좌표계를 설정하는 등 나머지 설정을 마친다.

1.2.2 세차운동-세차 각속도 측정

설정을 마치고, 자이로스코프 장치의 수평을 맞춘다. 균형추를 수평회전축 끝에 고정하여 회전축을 기울어진 상태로 만들고, 수직중심축이 회전하지 않는 상태가 되도록 A형 베이스의 수평 조절볼트를 조절한다. 그리고 균형주의 위치를 조정하여 자이로스코프 장치가 토크 평형 상태가 되도록 조절한다.

이제 줄의 고리를 관성 도르래 핀에 걸어 감고, 부드럽게 당겨 바퀴를 회전시킨다. 무게추 100g을 회전축 가장 안쪽 거치대에 끼운다.

자이로스코프가 장동 운동을 할 텐데, 회전축을 손끝으로 살짝 잡고, 장동 운동을 일으키지 않도록 부드럽게 밀어준다.

자이로스코프가 수평 평면 상에서 세차 운동만 하도록 조건이 구비되면, 데이터 측정을 한다.

실험을 두 번 하고, 무게추를 200g짜리로 바꾸어 다시 두 번 실험을 진행한다.

2. Data & Result

2.1. 100g 무게추

100g의 무게추로 세 번 실험을 진행하였다.

세차 각속도를 잴 때에는 두 시각에 측정한 세차 운동 결과값의 시간에 대한 평균값을 이용하여 구하였다. 에서 Rotation이 사이를 움직인다면, 평균 세차 각속도 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그리고 이를 이론적으로 구한 값과 비교하기 위해 다음을 이용하였다. 회전 바퀴의 반지름이 0.128m, 회전 바퀴의 질량이 대략 1.337kg이므로, 회전 바퀴의 관성 모멘트는 다음과 같다.

이때, 추의 질량이 0.1kg이고, 축이 고정된 점에서부터 무게추 사이의 거리가 0.15m이므로,

두 시각에서 측정한 각속도의 평균값을 rad/s로 변환시킨 값을 에 대입하도록 한다.

이렇게 했을 때 그 결과를 그래프로 나타내려고 하였다. 그러나 그 값이 매우 작은 시간 안에 진동하는 형태를 보이는 경우가 많아 분석하기가 매우 어려웠다. 그래서 0.5초 간격 동안의 세차 각속도 평균을 내어 그래프에 표기하기로 했다.

그림 4 실험 1-1 결과

그림 5 실험 1-2 결과

그림 6 1-3 실험 결과

다음과 같이 시간에 따라 각속도가 변화하는 모습을 보이기 때문에, 세차 각속도를 어떤 특정한 값이라고 말하기는 힘들다.

2.2. 200g 무게추

200g짜리 무게추로도 같은 방법으로 실험을 세 번 진행하였다. 같은 방법으로 결과를 산출하였고, 그 결과를 그래프로 나타냈다.

그림 7 2-1 실험 결과

그림 8 2-2 실험 결과

그림 9 2-3 실험 결과

2.3. 일치율

위의 실험에서 이론값에 대한 실험값의 비, 즉 를 얻어냈다. 실험값/이론값을 구해 표로 나타내면 다음과 같다.

	1-1	1-2	1-3
비율(%)	104.3333	102.6611	101.1327

표 1 실험 1에서의 비율

	2-1	2-2	2-3
비율(%)	106.5363	106.3895	101.4167

표 2 실험 2에서의 비율

3. Discussion

실험 데이터에서 오차를 일으킬 수 있는 원인이나 데이터를 해석해야 할 때 고려해야 할 요소들에 대해 토의해보도록 한다.

3.1. 장동 운동의 영향

데이터를 보았을 때 Tilt 값이 진동하는 등 자이로스코프 장치가 완전하게 수평 평면 상에서 세차 운동을 하지 못하고, 회전 바퀴가 위아래로 움직이는 것을 볼 수 있었다. 이것이 데이터에 어느 정도 오차를 일으킬 수 있다.

3.2. 자이로스코프의 균형

사람의 한계로 인해 자이로스코프 장치의 균형을 완전히 맞추지 못했을 가능성도 남길 수 있다.

3.3. 공기 저항 등의 요소

자이로스코프가 공기 저항 등의 힘 때문에 제 역할을 다하지 못했을 가능성이 있다.

4. Conclusion

실험을 통해 세차 운동의 모습이 이론과 얼마나 잘 맞아 떨어지는지 확인해 보았다. 실험 1과 실험 2에서 각각 다른 크기의 토크를 주며 실험하였다. 결과적으로 실험을 통해 얻은 값과 이론을 통해 얻은 값이 어느 정도 큰 유사도를 보임을 얻어낼 수 있었다.

전체적으로 실험을 통해 얻은 값이 이론을 통해 얻은 값보다 약간 큰 모습을 보였으나, 이론값에 대한 실험값의 비율 퍼센트가 모두 100%에서 10% 밖으로 벗어나지 않았다. 각각 실험에서 어떤 데이터들은 101% 비율을 보이는 등 큰 유사도를 보이기도 했다. 그래프를 통해 확인해 보았을 때에도 실험 값이 이론 값에서 크게 벗어나지 않는다는 것을 확인할 수 있었다.

그래프를 보면, 실험값이 증가하는 것을 뚜렷하게 확인할 수 있다. 데이터를 보았을 때 디스크, 즉 회전 바퀴의 각속도 크기가 감소하는 것을 확인할 수 있었는데, 세차 각속도와 회전 바퀴의 각속도는 반비례하므로, 회전 바퀴의 각속도 크기의 감소가 세차 각속도의 증가를 일으켰다고 생각할 수 있다. 회전 바퀴 각속도 크기 감소에 의해 값이 증가한 이론 값 그래프의 양상(혹은 기울기)과 실험 값 그래프의 양상이 비슷한 것을 보았을 때 이 추론이 타당하다고 생각한다. 회전 바퀴의 각속도 크기가 감소한 원인으로는 마찰력을 꼽을 수 있었다. 회전 바퀴와 축 사이의 마찰력이나 회전 바퀴와 공기 사이의 마찰이 회전 바퀴의 각속도 크기를 감소시켰다고 추측할 수 있었다.

이 실험에서 오차가 발생했다면 그 원인이 무엇일지도 분석하였다. 우선, 자이로스코프 장치가 완벽하게 수평 평면 상에서 세차 운동을 하지 않고 미세하게 위 아래로 흔들리는 모습을 보인 것을 데이터의 오차 원인으로 지목하였다. 두 번째로, 완벽하지 않은 자이로스코프의 균형, 또는 평형을 데이터의 오차 원인으로 지목하였다. 세 번째로, 공기 저항이나 마찰력 등의 외부 힘을 데이터의 오차 원인으로 지목하였다.

다음과 같은 오차 원인에도 불구하고 표 1과 표 2, 그리고 그래프에서 보인 것과 같이 실험 값과 이론 값이 큰 유사도를 보이는 것을 보아, 이 실험을 통해 이론의 정확성을 어느 정도 확인할 수 있었다고 결론을 내릴 수 있었다.

* Reference

1 서울대학교 물리천문학부, 『실험 1-4. 자이로스코프』, 2015, 15

[서울대 물리학실험 1-3] 시지프스의 고민

물리학 실험 1-3

1-3. 시지프스의 고민

*본 보고서는 이미 제출된 적 있는 보고서로 표절 시 불이익을 받을 확률이 매우 높습니다. 참고만 하십시오.

참고: http://physlab.snu.ac.kr/newphyslab/lab/exp2.htm

I. Introduction

1.1. 실험 목적

① 궤도를 구르면서 떨어지는 공의 운동 에너지의 증가량과 퍼텐셜 에너지의 감소량을 비교해본다.

② 공이 원형 궤도의 최고점에 다다르지 못하고 떨어지기 시작하는 최소 시작 높이가 이론값과 차이가 있는지 본다.

③ 데이터를 통해 마찰력의 영향을 살펴본다.

1.2. 배경 지식

1.2.1 굴러가는 물체의 역학적 에너지

강체의 각속도를 고려했을 때, 강체의 역학적 에너지는 다음과 같다.

은 질량 중심의 이동 속력, 는 강체의 현재 높이, 는 관성 모멘트, 는 강체의 각속도이다.

이 실험에서의 강체는 공이 된다. 공이 완전한 구의 형태를 띠고 있다고 할 때, 그 반지름을 이라 하면, 이고, 이다. 그러므로 공의 역학적 에너지는 다음과 같다,

공이 처음에 만큼의 높이에 있었다고 한다면, 질량 중심의 이동 속력은 다음과 같다.

1.2.2 경사면에서 구간 사이의 시간

경사면의 경사각을 라고 하면, 다음과 같다.

축의 관점(지면에 평행)에서 공이 굴러가는 것을 관찰하면,

위 식을 적분하면 다음과 같은 결과가 나온다.

이 식은 역학적 에너지가 보존된다는 가정 하에 얻어진 것이다. 이 시간을 실제 실험에서 측정해 보고, 이 실험에서 역학적 에너지가 보존되었는지 여부를 확인할 수 있다.

1.2.3 회전에서 유효 반지름

공이 경사면이 아닌 경사진 궤도를 구르는 경우, 회전 운동의 유효 반지름이 그림 1처럼 달라진다.

그림 1

궤도에서 유효 반지름

여기서 는 궤도에 공이 닿는 두 지점 사이의 거리이다.

그리고 각속도는 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

1.2.4 원형 궤도를 돌기 위한 초기 높이

공이 원형 궤도의 최고점에 올라도 원형의 운동을 계속 할 수 있는 최소 속력을 이라 하자. 중력이 구심력의 역할을 하게 되므로 다음과 같다.

이것과 공의 역학적 에너지 보존을 이용하면 원형 궤도를 돌기 위해 필요한 공의 초기 높이를 구할 수 있게 된다.

1.3. 실험 안내

준비물 : CCD, 직선 궤도, 원형 궤도, 1m 자, 스탠드, 마이크로미터, 전자식 저울, 공, 컴퓨터 등

1.3.1 실험 1

직선 궤도와 원형 궤도를 연결하고 카메라를 세운다. 그 다음 직선 궤도에 공을 놓고, 공이 움직이는 모습을 I-CA 카메라를 이용해 촬영한다. (초기 높이는 미리 정함)

공이 두 지점 사이를 통과하는 모습을 데이터로 가지게 되는데, 이 두 지점을 다르게 하면서 실험을 진행하고, 각각 실험을 두 번씩 진행하도록 한다.

이 데이터를 이용해 공의 운동 에너지 증가량과 퍼텐셜 에너지 감소량을 비교해 본다.

1.3.2 실험 2

공의 초기 높이를 여러 군데로 하여 테스트해보고, 이를 통해 원형 궤도를 돌기 위해 필요한 공의 초기 높이를 실험적으로 찾아낸다.

2. Data & Result

2.1. 실험 1의 결과

첫 번째는 경사각이 약 19도인 경사면에 높이가 38cm인 지점에서 13cm인 지점으로 공을 굴리는 실험이었다. 이 실험에서의 공의 운동에너지, 중력에 의한 퍼텐셜 에너지, 그리고 역학적 에너지를 산출하기 위해서 평균 속력을 이용하였는데, 문제는 공이 그 평균 속력을 낼 때의 지점이 어디인지 알아내는 것이었다.

그림 2 공의 움직이는 좌표

초기 속도가 0이었던 공이 가속도 로 등가속도 운동을 하고 있다고 하자. 공이 시간 에서 거리 만큼 움직이고 있을 때, 그 평균 속력이 나오는 시간은 이다. 이때 우리는 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

이를 대입하면,

위에서 얻은 결과가 공이 평균 속력을 가지게 되는 지점이다. 이를 공의 퍼텐셜 에너지를 산출할 때 이용할 수 있다. 이렇게 해서 아래와 같은 결과들을 얻어낼 수 있었다.

그림 3 첫 번째 실험에서의 에너지 변화

시간이 약 0.1초보다 작을 때에는 프로그램이 색 인식을 할 때 공 대신에 공을 잡고 있던 사람의 손을 인식하는 경우가 생기어 오차가 많이 있을 것이라고 판단해 그 부분을 제외하고 그래프를 그릴 수밖에 없었다.

같은 환경에서 얻어낸 두 번째 실험 결과는 다음과 같았다.

그림 4 두 번째 실험에서의 에너지 변화

이의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다. 단, 아래의 값들은 에너지를 질량으로 나눈 값이다.

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
1 실험	+1.622863	-1.957697	-0.334834
2 실험	+1.937641	-2.140433	-0.202793
평균	+1.780252	-2.049065	-0.268814

표 1 첫 번째와 두 번째 실험의 에너지 변화

이번에는 같은 경사면에 높이가 38cm인 지점에서 높이가 25cm인 지점으로 공을 굴렸다. 그때 그 에너지의 변화는 다음과 같았다.

그림 5 세 번째 실험에서의 에너지 변화

세 번째 실험에서 컴퓨터가 색 인식을 상당히 힘들어 했던 것이 데이터 오차를 크게 일으켰다.

그림 6 네 번째 실험에서의 에너지 변화

세 번째와 네 번째 실험에서 얻어낸 데이터의 초기 시작 값이 달라서 에너지의 증감을 비교하기는 어렵다. 하지만 이를 따로 나타내면,

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
3 실험	+0.761783	-0.813684	-0.0519

표 3 세 번째 실험의 에너지 변화

단위:J/kg	운동 에너지	퍼텐셜 에너지	역학적 에너지
4 실험	+0.930585	-1.072306	-0.141719

표 4 네 번째 실험의 에너지 변화

위와 같이 에너지가 변화하는 것을 알 수 있었다. 단, 위의 값들은 에너지를 질량으로 나눈 값이다.

2.2. 실험 2의 결과

실험 1에서의 경사각인 19도는 실험을 진행하기에 너무 낮으므로 경사각을 어느 정도 올리고, 다양한 높이에서 공을 떨어뜨렸다. 원형 궤도 중 가장 낮은 부분의 높이는 10cm였고, 궤도 중 가장 높은 부분의 높이는 39cm였는데, 공을 약 높이 70cm에서 떨어뜨렸을 때, 공이 원 운동을 그치지 않고 계속하는 것을 관찰할 수 있었다.

3. Discussion

이 실험의 데이터에서 오차가 발생한 원인과, 이 오차를 제거할 수 있는 가능성, 그리고 실험 데이터에서 Conclusion을 얻어낼 때 어려울 수도 있는 점을 살펴보도록 한다.

3.1. 카메라와 프로그램의 성능 한계

실험 도중, 프로그램이 물체에 대한 색 인식을 진행할 때 경사면에 공을 놓는 실험자의 손을 피사체로 인식하고 공 대신 손의 위치를 추적하는 모습을 반복적으로 관찰할 수 있었다. 이런 모습은 공이 떨어지고 얼마 되지 않았을 때(공이 아직 손과 가까이 있을 때)에만 집중적으로 관찰되었다. 이를 통해 얻어낸 데이터는 공의 위치를 대변해주지 못하기에 실험 데이터를 오염시키는 것을 뛰어넘어 무의미한 자료라고 판단하였고, 데이터의 오염이 상술했듯이 초기에만 일어났기 때문에 오염된 데이터를 손쉽게 제거할 수 있었다.

종종 카메라가 프레임을 중복 캡처하는 일도 종종 일어났으나, 이는 쉽게 제거하기가 어려워 데이터에 포함시킬 수밖에 없었다.

3.2. 정확하지 않은 길이 측정

공이 구르기 시작하는 위치와 자의 위치가 거의 동일하였으나, 좌표계 설정 당시 길이를 설정할 때 시작점과 마지막 점을 이은 선과 자가 완전히 평행하도록 설정하지 못했다. 이로 인해 어느 정도 길이에 대한 오차가 생겼을 것으로 추정된다.

3.3. 마찰력의 영향을 정확하기 알기 어려움

공이 궤도를 굴러갈 때 꽤 큰 소리를 내면서 굴러갔고, 공기 저항 또한 공에게 영향을 주었을 가능성이 크기 때문에 역학적 에너지의 손실이 오로지 궤도와 공 사이의 마찰력 때문에 일어났다고 보기가 매우 어렵다. 이런 이유로 Conclusion에서 마찰력의 영향을 알아볼 때 일정 부분 오류가 생길 가능성이 있다.

4. Conclusion

실험 1에서 역학적 에너지의 보존 여부에 대해 확인할 수 있었다. 결과부터 말하자면, 공이 내려간 높이 차가 어떻든 간에 공의 역학적 에너지가 전체적으로 감소하는 경향을 보이는 것을 확인할 수 있었다.

이를 확인하기 위해, 첫 번째로 1.2.2에서 말한 시간 측정을 통한 에너지 보존 확인 방법을 사용해보았다. 우선 이론적으로는 시간이 어떤 값으로 나와야 하는지 알아보았다.

첫 번째와 두 번째 실험에서는 높이가 38cm인 곳에서 13cm인 곳으로 공을 굴렸다. 그러므로,

세 번째와 네 번째 실험에서는 높이가 38cm인 곳에서 25cm인 곳으로 공을 굴렸다. 그러므로,

하지만, 카메라가 캡처한 프레임과 프레임 사이의 시간은 0.033초로 큰 편이고, Discussion에서 서술한 오차들로 인해 실험을 통해 얻은 시간 값과 이론적으로 얻어낸 시간 값의 크지 않은 차이에서 어떤 유의미한 결론을 얻어낼 수 없다고 판단했다.

반면, 평균 속력을 이용해 구해낸 역학적 에너지의 변화를 살펴보았을 때, 전체적으로 감소하는 경향을 찾아볼 수 있었다. 그래서 역학적 에너지가 보존되지 않았다고 판단을 내릴 수밖에 없었다.

이에 대한 이유로는 레일과 공 사이의 마찰력과 공기 저항을 꼽을 수 있었는데, 공의 속도가 상대적으로 작았기 때문에 이 중에서 마찰력의 영향이 크다고 판단하였다. 이 때문에 역학적 에너지가 감소하는 모습을 보였다고 판단을 내릴 수 있었다.

실험 2에서는 공이 원형 궤도를 완벽하게 돌기 위한 최소 높이를 찾아보았다. 우선, 마찰력의 영향을 무시하고 역학적 에너지가 보존된다는 가정 하에 이론적으로 구한 최소 높이를 알아보았다. 원형 궤도 중 가장 높은 부분에서 공이 가져야 할 최소 속력을 라고 한다면,

그리고, 역학적 에너지 보존 법칙을 이용할 때, 궤도를 완벽히 돌기 위한 최소 높이를 라고 하고, 공의 질량을 이라 한다면,

이는 실험을 통해 얻은 값인 0.7m와 크게 차이나는 값인데, 그 이유는 마찰력과 공기 저항의 영향 때문이라고 판단하였다.

* Reference

1 서울대학교 물리천문학부, 『실험 1-3. 시지프스의 고민』, 2015, 10